A villamos teret annak intenzitását vagy gerjesztettségét valamint irányát megadó térvektorok segítségével jellemezzük. Az elektromágneses teret alkotó mindkét teret (villamos és mágneses tér) két-két térvektorral jellemezzük, amelyek közül az egyik a teret létrehozó hatással arányos, a másik pedig a teret kitöltő közegnek az villamos illetve a mágneses tér erőhatását is befolyásoló hatását is figyelembe veszi.

A villamos teret jellemző két térvektor a villamos térerősség és a villamos eltolási vektor.

A villamos eltolási vektor a villamos teret annak minden pontjában jellemző térvektor. A villamos eltolási vektor a villamos teret annak gerjesztettsége, avagy a villamos tér töltés-szétválasztó képessége alapján jellemző térvektor.

A villamos eltolási vektor a villamos tér adott pontjában a tér töltésszétválasztó képességét adja meg. A villamos eltolás a villamos teret az azt kitöltő közegtől (anyagtól) függetlenül jellemzi.

Jele: D

mértékegysége: [D] = 1 As/m2

A villamos tér valamely pontjában az E térerősség irányára merőlegesen elhelyezkedő felületű, két egymáshoz érintett, dA felületű, vezető anyagú lemezt helyezve, azokon töltésmegosztás jön létre, hiszen a térerősség a villamos töltésekre erővel hat és azok a vezető anyagban el is képesek mozdulni. A vezető lemezeket szétválasztva azok dA elemi felületén dQ nagyságú töltés helyezkedik el.

A villamos eltolás abszolút értéke:

Abban az esetben, ha az A felületen a Q töltés egyenletes eloszlású, akkor a D villamos eltolás is az A felület minden pontján azonos nagyságú, tehát:

1.10.1 ábra: A villamos eltolás a villamos tér töltés-szétválasztó képességét jellemzi

A D vektor irányát a villamos eltolás és a villamos térerősség között izotróp anyagokban fennálló összefüggés határozza meg, amely a következő:

ahol a teret annak D-vel, illetve E-vel jellemzett pontjában kitöltő anyagra jellemző állandó, a villamos permittivitás, más névvel abszolút dielektromos térállandó.

Izotróp anyagokban tehát a villamos eltolás iránya a villamos térerősség irányával egyezik meg.

A villamos tér szemléltethető villamos eltolási vonalakkal is. A villamos eltolás a tér adott pontjában az ott áthaladó eltolási vonalhoz húzott érintő irányába esik és irányítása az eltolási vonal irányításával megegyezik. A villamos eltolás nagysága a tér adott pontjában megegyezik a pont elemi környezetében egységnyi felületen áthaladó erővonalak számával.

A villamos eltolási vektor további megnevezései: villamos indukció vektor, villamos gerjesztettségi vektor, villamos fluxussűrűség.

 

A villamos eltolás töltésszétválasztó képességet jellemző tulajdonságát kifejező összefüggésből kiindulva:

 



A villamos tér az ember számára közvetlenül nem érzékelhető, azonban vektormennyiségek jellemzik, így az azokhoz rendelt vonalakkal szemléletessé tehető. A villamos tér szemléltethető villamos térerősségvonalakkal vagy villamos eltolási vonalakkal. A villamos térerősségnek a villamos tér erőhatásával arányos tulajdonsága miatt a gyakorlatban a villamos teret térerősségvonalakkal (erővonalakkal) szemléltetik.

A villamos tér villamos eltolási vonalakkal szemléltethető. A villamos eltolási vonalak irányításukkal együtt valamely pontban a hozzájuk húzott érintővel a tér azon pontjában a villamos eltolás irányát adják meg. Az eltolási vonalak sűrűsége, azaz a rájuk merőlegesen felvett, egységnyi felületre eső számuk a villamos eltolás nagyságát adja meg.

1.10.2 ábra: A villamos tér szemléltetése eltolási vonalakkal

Az eltolási vonalak ténylegesen nem létező, fiktív eszközök, amelyeket csupán a villamos tér szemléltetésére szolgálnak.

 

- A villamos eltolási vonalak statikus villamos térben pozitív villamos töltésben erednek és negatív töltésben végződnek, az eltolási vonalak forrásai a tényleges villamos töltések;
- az eltolási vonalak statikus villamos térben nem záródnak önmagukba, (az előbbi két tulajdonság a statikus villamos tér forrásos, örvénymentes tulajdonságának következménye);
- az eltolási vonalak irányítással rendelkeznek, ami megegyezik az adott pontba helyezett pozitív töltésre ható erő irányával, vagyis a pozitív töltéstől mutat a negatív töltés felé;
- az eltolási vonalhoz valamely pontban húzott érintő a villamos eltolás irányával egyezik meg a villamos tér azon pontjában, irányítása pedig a villamos eltolás irányításával egyezik meg;
- az eltolási vonalakra merőlegesen felvett egységnyi felületen áthaladó eltolási vonalak száma a villamos eltolás nagyságával egyezik meg;
- az eltolási vonalak hosszirányban rövidülni igyekszenek, keresztirányban taszítják egymást, (az előbbi tulajdonság a villamos erőtér energiaminimumra való törekvését szemlélteti);
- az eltolási vonalak nem keresztezik egymást, (ekkor ugyanis a metszéspontban az eltolásnak kétféle iránya lenne).

(Ld. még: Alapvető töltéselrendezések eltolási vonalképei, Eltolási vonalak tulajdonságai örvényes villamos térben)

 

Homogén anyaggal kitöltött térben az egyes töltéselrendezések villamos eltolási vonalképei a villamos térerősségvonalak alakulásával egyeznek meg. A különbség az eltérő permittivitású anyagok határfelületén, illetve annak környezetében mutatkozik meg, az eltolási vonalak forrásai ugyanis a tényleges töltések, míg az erővonalaké a szabad töltések.

Egyebek között a homogén anyaggal kitöltött térben egymagában elhelyezkedő pontszerű töltés, két azonos vagy ellentétes nemű pontszerű töltés, az egyenes vonaltöltés, a töltött sík és a homogén szigetelőanyaggal kitöltött kondenzátor eltolási vonalképe jellegében megegyezik ezen töltéselrendezések villamos térerősségvonalképével.

Az alábbiakban az erővonalakétól eltérő alakulású eltolási vonalképekkel rendelkező töltéselrendezések szerepelnek.

1.10.2.2.1 ábra: A villamos eltolási vonalak alakulása különböző permittivitású szigetelőanyagok határán

Az elektrosztatika Gauss-tételét a töltéssel rendelkező, vezető elektród köré felvett zárt felületre felírva olymódon, hogy a zárt felület egyszer az egyik (A1), egyszer pedig a másik szigetelőanyagban záródik (A2), ugyanaz a villamos eltolás (D) adódik mindkét esetben. A villamos eltolást csak az elektródon levő, kompenzálatlan, tényleges töltések (Q) határozzák meg, a szigetelőanyag polarizált töltései nem.

1.10.2.2.2 ábra: Eltolási vonalkép homogén térbe helyezett szigetelő test körül illetve
benne; a test dielektromos állandója a környező szigetelő anyagénál nagyobb

1.10.2.2.3 ábra: Eltolási vonalkép homogén térbe helyezett szigetelő test körül;
a test dielektromos állandója a környező szigetelő anyagénál kisebb

A két utóbbi esetben a különböző szigetelőanyagok határfelületén és annak környezetében a különböző nagyságú polarizált töltések befolyásolják az erővonalak menetét, és izotróp anyagok esetén az azokkal azonos irányban haladó eltolási vonalakét is; a határfelületen mindkét térjellemző azonos szögű törést szenved. Mivel azonban a villamos eltolás értékét a teret létrehozó nem kompenzált (nem polarizált) töltések határozzák meg - az eltolási vonalak azokban erednek - az eltolási vonalak folytonosak, mert kompenzálatlan töltés a vizsgált térrészben nincs.

(Ld. még: A villamos térjellemzők átmenete közeghatáron)

 

A térben egymagában elhelyezkedő, pontszerű töltés által tőle adott távolságra létrehozott villamos eltolás értéke az elektrosztatika Gauss-tétele segítségével határozható meg.

Az elektrosztatika Gauss-tétele általánosan:

ahol D : a villamos eltolási vektor,
A : a felvett zárt felület,
Q : a felvett, zárt felület által bezárt térrészben levő eredő töltés.

A zárt felületet pontszerű töltés esetén a töltéssel egybe eső középponttal rendelkező gömbfelületként célszerű felvenni. Ekkor ugyanis a térben egymagában álló, pontszerű töltés gömbszimmetrikus terének következtében a töltéssel koncentrikus gömbfelületnek minden pontjában azonos nagyságú a villamos eltolás, továbbá gömbfelület minden pontjában az eltolási vektor merőleges a felületre, vagyis annak normális vektorával azonos irányba esik. A Gauss-tétel felírható emiatt a következőképpen:

1.10.2.1 ábra: A Gauss-tétel alkalmazása pontszerű töltésre

A skaláris szorzást párhuzamos vektorokkal kell elvégezni, amelyek által közbe zárt szög 0, annak koszinusza pedig 1. Ekkor a két vektor skaláris szorzata megegyezik abszolút értékeik szorzatával. A villamos eltolás a felvett felület minden pontjában azonos nagyságú, vagyis értéke nem függ a felülettől, mint változótól. Mivel a villamos eltolás a felületen állandó, kiemelhető az integrálás elé, ezért az elemi szorzatok összege megegyezik a villamos eltolás értékének és a teljes felület értékének szorzatával.

Behelyettesítve A helyébe a felvett gömbfelület összefüggését, és kifejezve a villamos eltolást, megkapjuk a villamos eltolásnak a térben egyedül elhelyezkedő, pontszerű töltéstől mért távolságtól való függését:

Az r távolságot a pontszerű töltésből kiinduló vektorként felvéve a térben egymagában álló, pontszerű töltés által tőle r távolságban létrehozott villamos eltolási vektor:

ahol: az r irányú egységvektor.

(Ld. még: Villamos térerősség pontszerű töltés terében)

 

A térben egymagában elhelyezkedő, végtelen hosszúságú, egyenletes vonalmenti töltéssűrűséggel rendelkező, egyenes vonaltöltés által tőle r távolságra létrehozott villamos eltolás értéke az elektrosztatika Gauss-tétele segítségével határozható meg.

Az elektrosztatika Gauss-tételét a jelen esetre alkalmazva:

ahol D : a villamos eltolási vektor,
A : a felvett zárt felület,
q : a felvett, zárt felület által bezárt térrészben a vonalmenti töltéssűrűség,
l : a felvett, zárt felület által bezárt térrészben a vonaltöltés hossza.

Figyelembe véve, hogy a q töltéssűrűség az egyenes mentén állandó, az kiemelhető az integrálás elé és a zárt felület által körülvett térfogatban levő összes töltés felírható a q töltéssűrűség és a vonaltöltésnek a térfogatba eső szakaszának l hossza szorzataként.

A zárt felületet vonaltöltés esetén a töltött egyenessel egybe eső tengellyel rendelkező hengerfelületként célszerű felvenni, amelynek fedőlapjai az egyenesre merőleges síkokba esnek. Ekkor ugyanis a térben egymagában álló vonaltöltés hengerszimmetrikus terének következtében a hengerfelület fedőlapjaival az eltolási vektorok mindenütt párhuzamosak, vagyis az eltolási vektorok és a fedőlap felületvektorai derékszöget zárnak be egymással, amelynek koszinusza 0. A villamos eltolásnak tehát a fedőlapokra vett integrálja nulla.

Hasonlóképpen a hengerszimmetrikus térnek köszönhetően a vonaltöltéssel koncentrikus hengerfelületnek minden pontjában azonos nagyságú a villamos eltolás, továbbá a hengerfelület minden pontjában az eltolási vektor merőleges a felületre, vagyis annak normális vektorával azonos irányba esik. A Gauss-tétel felírható emiatt a következőképpen:

1.10.3.1 ábra: A Gauss-tétel alkalmazása vonaltöltésre

A hengerpalást mentén a skaláris szorzatot párhuzamos vektorokkal kell elvégezni, amelyek által közbe zárt szög 0, annak koszinusza pedig 1. Ekkor a két vektor skaláris szorzata megegyezik abszolút értékeik szorzatával. A villamos eltolás a hengerpalást minden pontjában azonos nagyságú, vagyis értéke nem függ a felülettől, mint változótól. Mivel a villamos eltolás a felületen állandó, kiemelhető az integrálás elé, ezért az elemi szorzatok összege megegyezik a villamos eltolás értékének és a teljes felület értékének szorzatával.

Behelyettesítve A helyébe a felvett hengerpalást felületének összefüggését, és kifejezve a villamos eltolást, megkapjuk a villamos eltolásnak a térben egyedül elhelyezkedő, végtelen hosszúságú, q hosszegységre eső villamos töltéssűrűséggel rendelkező, egyenes vonaltöltéstől mért távolságtól való függését:

Az r távolságot a vonaltöltésből kiinduló vektorként felvéve a vonaltöltés által tőle r távolságban létrehozott villamos eltolási vektor:

ahol: az r irányú egységvektor.

(Ld. még: Villamos térerősség vonaltöltés terében)

 

A térben egymagában elhelyezkedő, végtelen kiterjedésű, egyenletes felületi töltéssűrűséggel rendelkező, síkbeli töltés által a tőle adott távolságra létrehozott villamos eltolás értéke az elektrosztatika Gauss-tétele segítségével határozható meg.

Az elektrosztatika Gauss-tételét a jelen esetre alkalmazva:

ahol D : a villamos eltolási vektor,
A : a felvett zárt felület,
s : a felvett, zárt felület által bezárt térrészben a felületi töltéssűrűség,
At : a felvett, zárt felület által bezárt térrészben a felületi töltés felülete.

Figyelembe véve, hogy a s síkbeli töltéssűrűség a sík mentén állandó, az kiemelhető az integrálás elé és a zárt felület által körülvett térfogatban levő összes töltés felírható a s töltéssűrűség és a töltésnek a térfogatba eső felületének szorzataként.

1.10.4.1 ábra: A Gauss-tétel alkalmazása síkbeli töltésre

A zárt felületet jelen esetben a töltött síkkal párhuzamos és merőleges síkokkal határolt téglatestként célszerű felvenni. Ekkor ugyanis a végtelen kiterjedésű egyenletes, síkbeli töltés által létrehozott homogén villamos erőtér következtében az eltolási vektorok a téglatestnek a síkra merőleges, négy oldallapjával mindenütt párhuzamosak, vagyis az eltolási vektorok és a lapok felületvektorai derékszöget zárnak be egymással, amelynek koszinusza 0. A villamos eltolásnak tehát a négy oldallapra vett integrálja nulla.

A téglatestnek a síkkal párhuzamos két oldalának minden pontjában a felületre merőlegesek a villamos eltolási vektorok, tehát a felület vektorokkal azonos irányba mutatnak, velük bezárt szögük nulla, aminek koszinusza 1. Ezen a két oldallapon tehát az eltolási és a felületvektorok skaláris szorzata megegyezik a vektorok abszolút értékeinek szorzatával. A tér homogén jellegéből eredően a felvett zárt felületnek a síkkal párhuzamos két oldalának minden pontjában azonos nagyságú a villamos eltolás. A villamos eltolás tehát nem függ a felülettől, ezért kiemelhető az integrálás elé.

 

A villamos eltolást kifejezve:

vektorosan:

ahol: az A irányú egységvektor.

(Ld. még: Villamos térerősség síkbeli töltés terében)

 

A két, egymástól adott távolságra elhelyezkedő, azonos felületű, egyenletes felületi töltéssűrűséggel rendelkező, azonos nagyságú, ellentétes nemű villamos töltéssel rendelkező, sík elektródokból és a közöttük elhelyezkedő, adott villamos permittivitású szigetelőanyagból álló síkkondenzátor terében a villamos eltolás értéke az elektrosztatika Gauss-tétele segítségével határozható meg.

A síkkondenzátor terét egyszerűsítésekkel vesszük figyelembe. A kondenzátor belsejében a villamos tér jó közelítéssel homogén. Az erővonalaknak az elektródok szélei közelében fellépő szórását, vagyis a villamos térerősség csökkenését és a kondenzátor lemezei által körülzárt térrészen kívüli térben fennálló igen kis térerősségű villamos teret elhanyagoljuk, csak a kondenzátor belsejében vesszük figyelembe a villamos teret, mégpedig homogén térként.

A síkkondenzátor baloldali, a példában pozitív töltéssel rendelkező elektródját körülvesszük zárt felülettel. A zárt felület az elektródlemezzel párhuzamos oldalú téglatest. Az elektrosztatika Gauss-tétele felírható tehát a jelen esetben a következőképpen:

ahol D : a villamos eltolási vektor,
A : a felvett zárt felület,
Q : a felvett zárt felület által körülzárt pozitív elektród töltése.

1.10.5.1 ábra: A Gauss-tétel alkalmazása síkkondenzátorra

A külső tér elhanyagolása miatt a téglatestnek a kondenzátoron kívül eső oldalán illetve a körülvett elektród éleinél lévő oldalain villamos tér nincs jelen. A villamos eltolásnak a felvett zárt felületre vett integrálja így csupán a téglatest belső oldalának az elektróddal megegyező nagyságú felületén tér el nullától. A belső oldal (A) nagyságú felületén azonban az alkalmas - párhuzamos - felrajzolás miatt a villamos eltolás a felület minden pontjában arra merőleges, és a homogén tér feltételezése miatt mindenütt azonos nagyságú. A villamos eltolási vektorok, tehát a felület vektorokkal azonos irányba mutatnak, velük bezárt szögük nulla, aminek koszinusza 1. Ezen a belső oldalon tehát az eltolási és a felületvektorok skaláris szorzata megegyezik a vektorok abszolút értékeinek szorzatával. A tér homogén jellegéből eredően a felvett zárt felületnek a síkelektróddal párhuzamos két oldalának minden pontjában azonos nagyságú a villamos eltolás. A villamos eltolás tehát nem függ a felülettől, ezért kiemelhető az integrálás alól. Tekintettel az elektród egyenletes töltéssűrűségére, az kiemelhető a bal oldalon szerepelő integrálás elé és a töltés helyére behelyettesíthető a felületi töltéssűrűség az elektród felületének szorzata:

ahol s : az elektród felületi töltéssűrűsége.

A villamos eltolást kifejezve:

vektorosan:

ahol: az A irányú egységvektor.

(Ld. még: Villamos térerősség síkbeli töltés terében)