Szigetelő közegben egymás környezetében elhelyezkedő vezető anyagú testek között kapacitást értelmezünk (mindig két test között).

Homogén szigetelő közegben (anyagban), egymás környezetében elhelyezkedő két vezető anyagú test kapacitása az egységnyi feszültség hatására a vezető testeken szétváló villamos töltés mennyiségét adja meg.

A két, egymás környezetében elhelyezkedő vezető anyagú testet elektródoknak nevezzük. A testek akkor vannak egymás környezetében, ha villamos terük befolyással van egymásra, azaz villamos töltéseik együttesen határozzák meg környezetükben a villamos teret.

A kapacitás skaláris fizikai mennyiség, amelynek

jele: C

mértékegysége: [C] = 1 F (farad)

Az elektródokon szétválasztott Q villamos töltés esetén U feszültséggel rendelkező elektródpár kapacitása:

1.16 ábra: Egymás közelében elhelyezkedő, különböző töltésű elektródok

Valamely elektródpár kapacitása csak a geometriai elrendezéstől és a közöttük elhelyezkedő szigetelőanyag permittivitásától függ.A kapacitás alapmértékegysége, az 1 F, igen nagy érték, a gyakorlatban szokásos kapacitásértékek nagyságrendje: mF, nF, pF.

 

Tekintve a kapacitás definícióját a mértékegységek szempontjából:

SI alapmértékegységekkel kifejezve:

 



A kondenzátor meghatározása fizikai működése szempontjából:

A kondenzátor villamos töltések felhalmozására és tárolására alkalmas, egymástól szigetelőanyaggal elválasztott elektródpár.

Az elektródot más szóval fegyverzetnek is nevezik.

Kondenzátort alkotnak a nem kondenzátor céljára készült, de felépítésük folytán kapacitással rendelkező berendezések, illetve azok részei is. Ilyen például a koaxiális kábel, amelynek külső fémköpenye árnyékolás céljára szolgál, a belső vezetőérrel azonban vezető elektródpárként kapacitással rendelkezik, így kondenzátort képez.

Jelentős kapacitással rendelkező kondenzátorokat alkotnak az erősáramú kábelek is úgy vezető ereik között, mint vezetőerük és a fém páncélozás között. Hasonlóképpen kondenzátort képeznek a villamos távvezetékek egymás mellett haladó vezetői, de a vezetőből és a földből álló vezető elektródpár is rendelkezik kapacitással. Bizonyos esetekben még az integrált áramkörök kivezetései közötti, pF nagyságrendű kapacitást is figyelembe kell venni.

1.16.2.1 ábra: A kondenzátor rajzjele a villamos terveken

A kondenzátorok tervjele a villamos tervekben általában a nagy C betűvel kezdődik.

A kondenzátor meghatározása az áramkörökben betöltött szerepe szempontjából:

A kondenzátor két kivezetéssel (csatlakozással) rendelkező passzív, energiatároló jellegű áramköri elem.

A kondenzátor a rákapcsolt feszültség hatására fegyverzetein szétváló (felhalmozódó) villamos töltések által az elektródok közötti teret kitöltő szigetelőanyagban létrehozott villamos tér energiája révén tárol energiát.

1.16.2.2 ábra: Nagyfeszültségű, háromfázisú kábel vezetőerei, illetve a vezetőerek és a páncélozás közötti kapacitások

 

A műszaki gyakorlatban sokféle kondenzátortípust alkalmaznak. A kondenzátorkészülékek csoportosíthatók kapacitásértékük állandósága alapján (állandó vagy változó értékű kondenzátorok), valamint az elektródok és a dielektrikum anyaga szerint.

A kondenzátorok fegyverzete közötti szigetelőanyag lehet levegő, papír, műanyag, csillám, üveg, kerámia, stb. Levegő a szigetelőanyag például a rádiótechnikában alkalmazott forgókondenzátorokban (változó értékű kondenzátor). A tömbkondenzátorok gyakori típusa az összetekercselt alumíniumfóliából és a fóliák közötti szigetelőcsíkból áll. Ezzel az elrendezéssel kis méretek mellett igen nagy kapacitás érhető el.

Még jobb a helykihasználása az elektrolitkondenzátoroknak, amelyekben az egyik elektródot alumínium vagy tantál alkotja és az azon képződő oxidréteg képezi a szigetelő réteget, végül a másik elektród elektrolit, például bórsav oldat. Az elektrolit, lévén folyékony, tökéletesen követi a szemközti elektród alakját, biztosítva így az oxidréteg által meghatározott 0,1 mm nagyságrendű szigetelési távolságot. Az elektrolitkondenzátor fém anyagú elektródját érdessé téve annak felülete megnövelhető, és mivel a síkkondenzátor kapacitása az elektródok felületével arányos, így a kapacitás is megnő:

ahol: az elektródok közötti szigetelőanyag dielektromos állandója,
A az elektródok felülete,
d az elektródok közötti távolság.

A fém elektródon létrehozott oxidréteggel biztosítható az igen kis vastagságú szigetelő réteg, a folyékony, másik elektród pedig követi az érdesített, fém elektród felületét.

Az elektrolitkondenzátorokra csak meghatározott polaritással kapcsolható egyenfeszültség, mert a fém elektródot katódként (negatív polaritásra) kapcsolva, a szigetelőréteg megszűnik és a kondenzátor áramot vezet. Az áram hatására felmelegedő elektrolit felforrva felrobbanthatja a kondenzátort. Az elektrolikondenzátorok alkalmazási köre emiatt behatárolt, főleg az áram simítására használják egyenirányítók egyenfeszültségű körében.

1.16.2.3 ábra: Az elektrolitkondenzátor felépítése

Az elektrolikondenzátorok polaritásfüggésére áramköri rajzjelük is utal:

1.16.2.4 ábra: Az elektrolitkondenzátor rajzjele a villamos terveken

A kondenzátorokban levő, adott vastagságú szigetelő réteg miatt csak meghatározott, legnagyobb feszültségen használhatók, ezért kapacitásuk után az üzemi feszültségük a rájuk jellemző, legfontosabb adat. A véges feszültségtűrést különösképpen figyelembe kell venni az elektrolitkondenzátorok esetén, amelyek egyik előnye épen a jó helykihasználás, ami részben az igen vékony szigetelő oxidrétegnek köszönhető.

Nagyfeszültségen végzett, központi fázisjavítás céljára nagyfeszültségű (10 - 20 kV-os) kondenzátorok is készülnek, de a 120 kV-os vezetékeken folytatott távközléshez szükséges szűrők 120 kV-os vonali feszültségszintű kondenzátorokat is tartalmaznak.

 



Villamos áramkörök számításakor sokszor szükségessé válhat több, egymással valamilyen villamosan vezető összeköttetésben lévő kondenzátor egyetlen újabb kondenzátorral történő egyenértékű helyettesítése.

Egy kondenzátor akkor helyettesíti a hálózat két pontjára nézve egyenértékűen az eredeti kondenzátorokat, ha a két pontra kapcsolt, ugyanazon feszültség hatására ugyanakkora villamos töltésmennyiség helyezkedik el elektródjain, mint a hálózati pontokkal ideális vezetővel összeköttetésben levő eredeti elektródokon. A helyettesítő kondenzátor kapacitását eredő kapacitásnak nevezzük.

Egyenértékű helyettesítés a hálózat három pontjára nézve is történhet. Ekkor három kondenzátor másik három, egymással az eredetitől eltérő kapcsolásban lévő kondenzátorral való helyettesítése történik. Ily módom csillagkapcsolású kondenzátorok helyettesíthetők deltakapcsolásúakkal, és fordítva, deltakapcsolásúak csillagkapcsolásúakkal. Három kondenzátor akkor van egymással csillagkapcsolásban, ha egy-egy kapcsuk áll vezető összeköttetésben, vagyis azok a kapcsaik azonos potenciálúak. Három kondenzátor akkor van egymással delta kapcsolásban, ha a három kondenzátor egymással zárt kört (hurkot) alkot, amelybe más áramköri elem nincs sorosan beiktatva.

A kondenzátorok alábbi négy alapkapcsolásának eredő illetve helyettesítő kapacitásainak ismeretében kondenzátorokból álló bármilyen hálózat eredő kapacitása meghatározható.

Az eredő kapacitás meghatározásához szükséges lehet

- egymással párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitásának meghatározására (ld. 1.16.3.1 pont);
- egymással sorosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitásának meghatározására (ld. 1.16.3.2 pont);
- egymással csillagkapcsolásban lévő, három kondenzátor eredő kapacitásának meghatározására (ld. 1.16.3.3 pont);
- egymással deltakapcsolásban lévő, három kondenzátor eredő kapacitásának meghatározására (ld. 1.16.3.3 pont).

 

Kondenzátorok akkor vannak egymással párhuzamos kapcsolásban, ha két-két kapcsuk egymással vezető összeköttetésben áll (egy kondenzátor két kapcsa egymással természetesen nincs összekötve) és így a rajtuk mérhető feszültség azonos.

1.16.3.1 ábra: Kondenzátorok párhuzamos kapcsolása

Két, egymással párhuzamosan kapcsolt kondenzátor egyenértékűen helyettesíthető egyetlen kondenzátorral, amelynek kapacitása a két kondenzátor kapacitásának összege.

A fenti állítás bizonyítása:

A párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok két-két kapcsa egymással ideális vezetővel össze van kapcsolva, tehát a két-két kapocs, és azokkal együtt a hozzájuk kapcsolódó elektródok azonos potenciálon vannak, a két kondenzátor összekapcsolt elektródjaik révén egy kondenzátort alkot. A két kondenzátoron azonos feszültség (U) mérhető, és természetesen az őket helyettesítő eredő kapacitással rendelkező, egyetlen kondenzátoron is, amelynek villamos töltése (Q) a két kondenzátor töltésének (Q1, Q2) összege:

; ; ;

a két párhuzamosan kapcsolt, C1 és C2 kapacitású kondenzátor Ce eredő kapacitása:

Egymással párhuzamosan kapcsolt, n darab kondenzátor eredő kapacitása a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok kapacitásainak összegével egyenlő.

 



Kondenzátorok akkor állnak egymással soros kapcsolásban, ha a két egymással összekapcsolt kondenzátornak csak egy-egy kapcsa van vezető kapcsolatban egymással, és a kapcsolódási pontra más áramköri ág nem csatlakozik.

1.16.3.2 ábra: Kondenzátorok soros kapcsolása

Két, egymással sorosan kapcsolt kondenzátor egyenértékűen helyettesíthető egyetlen kondenzátorral, amely kapacitásának reciproka a két kondenzátor kapacitása reciprokának összege.

A fenti állítás bizonyítása:

Az egymással sorba kapcsolt kondenzátorok összekapcsolt elektródjai - C1 jobboldali elektródja és C2 baloldali elektródja - azonos potenciálúak, tehát vezető testet alkotnak, amelyen az elrendezésre kapcsolt feszültség hatására töltésmegosztás jön létre. A töltésmegosztás következtében ugyanakkora negatív villamos töltés jelenhet csak meg a jobboldali elektródon, amekkora pozitív töltés a baloldalin. A két kondenzátor elektródjain tehát azonos nagyságú töltések jelennek meg adott feszültség hatására. A helyettesítő kondenzátoron lévő feszültség pedig az eredeti kondenzátorokon lévő feszültségek összege.

; ; tehát

Egymással párhuzamosan kapcsolt, n darab kondenzátor eredő kapacitásának reciproka a kondenzátorok kapacitásai reciprokának összegével egyenlő.

 

Két, egymással sorba kapcsolt kondenzátor a kapcsolás két végpontjára kapcsolt feszültséget megosztja, vagyis a feszültség a két kondenzátoron a kapacitásaik aránya által meghatározott nagyságú lesz. A két részfeszültség összege Kirchhoff huroktörvénye értelmében az összegfeszültséggel (a két végpont között mérhető feszültséggel) egyenlő.

1.16.3.2.1 ábra: Kapacitív feszültségosztó

A két kondenzátor egyikén mérhető feszültség (U1) az összegfeszültség (U) és a kondenzátorok kapacitásának (C1 és C2) ismeretében a következőképpen határozható meg:

felírva a Kirchhoff hurokegyenletet: ebből U1-et kifejezve:

és az U2 feszültség helyére a töltés és a kapacitás hányadosát behelyettesítve az alábbi összefüggést kapjuk:

Sorosan kapcsolt, eredetileg töltetlen kondenzátorokon a feszültség hatására azonos nagyságú villamos töltés (Q) válik szét. A töltés helyébe az összegfeszültséget és az eredő kapacitást (Ce) behelyettesítve:

végül az egyenletet legegyszerűbb alakjába rendezve az eredmény:

Az egymással sorba kapcsolt kondenzátorok tehát kapacitásaikkal fordított arányban osztják meg az összegfeszültséget

 

Nagy feszültségek nem mérhetők közvetlenül a szokásos mérőműszerekkel, mert azok szigetelése csak nagyságrendekkel kisebb feszültségek elviselésére képes. Megfelelően méretezett kapacitív feszültségosztó segítségével a mérni kívánt feszültséggel arányos, annál sokkal kisebb feszültség állítható elő a mérőműszerek számára.

A földpotenciáltól távolabb, felül elhelyezkedő C1 kondenzátor kapacitása viszonylag kicsi, de szigetelése alkalmas a mérendő feszültség elviselésére, míg a sokkal nagyobb kapacitású, alsó C2 kondenzátoron a sokkal kisebb, de a mérendővel arányos feszültség a szokásos műszerekkel megmérhető.

1.16.3.2.2 ábra: Feszültségmérés kapacitív osztó segítségével

Kapacitív osztót általában váltakozófeszültségek mérésére használnak, mert egyenfeszültség esetén az állandósult állapotot elérve a kondenzátorok kapacitásai helyett azok átvezetésének aránya, tehát ellenállás-osztó határozza meg a feszültségviszonyokat.

Az egyenfeszültségre kapcsolt kapacitív osztó esetén a két valóságos kondenzátort helyettesítő kapcsolásban szereplő RCP1 és RCP2 párhuzamos ellenállásokat a kapacitások az első pillanatban rövidre zárják. Ekkor a feszültségviszonyokat a kapacitív osztó határozza meg, és az ellenállásokon eleinte eltérő áram halad, amely az állandósult állapotot elérve a kondenzátorokon az ellenállások által meghatározott feszültségeknek megfelelő töltést halmoz fel. A kondenzátorok megfelelő feltöltődését követően az ellenállásokon azonos áram halad át és a feszültségek arányát az ellenállás-osztó határozza meg.

1.16.3.2.3 ábra: Egyenfeszültség osztásakor figyelembe kell venni a kondenzátorok átvezetési ellenállását is.

 



Bizonyos kapcsolások esetén a több kondenzátorból álló hálózat eredő kapacitása nem határozható meg a párhuzamosan vagy sorosan kapcsolt kondenzátorok esetén alkalmazható összefüggésekkel. Ilyen esetekben három kondenzátornak másik három kondenzátorral történő helyettesítésére van szükség, amelyek a kapcsolás három pontjára nézve egyenértékűek, viszont más kapcsolásban állnak egymással. Ily módon három, egymással csillag-kapcsolásban álló kondenzátor (az 1.16.3.3 ábrán baloldalt) helyettesíthető, három delta-kapcsolásúval (az 1.16.3.3 ábrán jobboldalt), valamint fordítva, három delta-kapcsolású csillag-kapcsolásúakkal.

1.16.3.3 ábra: Kondenzátorok csillag- és delta-kapcsolása

 

A deltakapcsolású kondenzátorok kapacitásértékeinek ismeretében a csillagkapcsolású helyettesítő kondenzátorok kapacitásainak levezetése a következőképpen történik. A kapcsolás három pontja közül rendre kettő-kettő közötti eredő kapacitásnak meg kell egyeznie:

az 1-2 pontok között: I.

a 2-3 pontok között: II.

az 1-3 pontok között: III.

A felírt három egyenlet mindig három ismeretlent tartalmaz attól függően, hogy melyik elrendezés három kapacitásértékének ismeretében kívánjuk a másik elrendezés három kapacitását meghatározni. Jelen esetben a csillag kapcsolású kondenzátorok kapacitásait fejezzük ki a delta kapcsolásúakkal. Kifejtve a replusz műveleteket és közös nevezőre hozva az egyenletek jobb oldalait:

I.

II.

III.

Mindhárom egyenlet reciproka:

I.

II.

III.

A következő lépés az I. - II. + III. művelet, és figyelembe véve, hogy az egyenletek jobb oldalainak nevezője közös, azokat egy törtben kifejezve:

Közös nevezőre hozva a bal oldalt is:

C1-et kifejezve, majd az egyenlet mindkét oldalát beszorozva C12C13-mal:

A C2 kapacitásérték kifejezéséhez az I. + II. - III. műveletet kell elvégezni:

Közös nevezőre hozva a bal oldalt is:

C2-t kifejezve, majd az egyenlet mindkét oldalát beszorozva C12C23-mal:

A C3 kapacitásérték kifejezéséhez pedig a - I. + II. + III. műveletet kell elvégezni:

Közös nevezőre hozva a bal oldalt is:

C3-at kifejezve, majd az egyenlet mindkét oldalát beszorozva C13C23-mal:

A csillagkapcsolású kondenzátorok kapacitásértékei a deltakapcsolásúak ismeretében:

; ;

ahol:

 

A csillagkapcsolású kondenzátorok kapacitásértékeinek ismeretében a deltakapcsolású helyettesítő kondenzátorok kapacitásainak levezetése a következőképpen történik.

A kapcsolás három pontja közül rendre kettő-kettő közötti eredő kapacitásnak meg kell egyeznie. A deltakapcsolású helyettesítő kondenzátorok kapacitásainak a csillagkapcsolású kondenzátorok kapacitásaival történő kifejezéséhez mindkét hálózaton azonos módosítást végzünk. Az eredő kapacitásoknak a kapocspárokra történő felírásakor mindig rövidre zárunk két-két szomszédos, másik kapocspárt.

Az 1-2 kapcsokra történő eredőszámítás esetén az 1-3 kapcsokat zárjuk rövidre (ld. 1.16.3.4 ábra).

1.16.3.4 ábra: Az 1-3 kapcsok rövidre zárása a deltakapcsolású helyettesítő kapacitások meghatározásához

Az eredő kapacitás ekkor az 1-2 kapocspárra: I.

A 2-3 kapcsok esetén az 1-2 kapcsokat zárjuk rövidre (ld. 1.16.3.5 ábra).

1.16.3.5 ábra: Az 1-2 kapcsok rövidre zárása a deltakapcsolású helyettesítő kapacitások meghatározásához

Az eredő kapacitás ekkor a 2-3 kapocspárra: II.

Az 1-3 kapcsok esetén a 2-3 kapcsokat zárjuk rövidre (ld. 1.16.3.6 ábra).

1.16.3.6 ábra: A 2-3 kapcsok rövidre zárása a deltakapcsolású helyettesítő kapacitások meghatározásához

Az eredő kapacitás ekkor az 1-3 kapocspárra: II.

A három egyenletben a replusz műveletet elvégezve:

I.

II.

III.

C12 kifejezéséhez az I-II+III műveletet végezzük el az egyenletekkel:

C12 tehát:

C23 kifejezéséhez az I+II-III műveletet végezzük el az egyenletekkel:

C23 tehát:

C13 kifejezéséhez a -I+II+III műveletet végezzük el az egyenletekkel:

C13 tehát:

A deltakapcsolású kondenzátorok kapacitásértékei a csillagkapcsolásúak ismeretében:

; ;

ahol:

 



A statikus villamos tér három, egyszerűen vizsgálható, fő típusához, a homogén, a gömbszimmetrikus és a hengerszimmetrikus térhez kapcsolódóan három fő kondenzátortípust vizsgálunk meg, amelyek a következők:

- a síkkondenzátor,
- a gömbkondenzátor és
- a hengerkondenzátor.

 

A síkkondenzátor két, azonos A felületű, egymással párhuzamosan, adott d távolságra elhelyezkedő, vezető anyagú, sík elektródból, valamint az őket egymástól elválasztó, e dielektromos állandóval rendelkező, szigetelő anyagú rétegből áll.

1.16.4.1 ábra: A síkkondenzátor keresztmetszeti rajza

A kondenzátor elektródjain a kondenzátorra kapcsolt U feszültség hatására Q töltés válik szét, ami villamos teret hoz létre a kondenzátor belsejében.

A síkkondenzátor belsejében homogén villamos teret feltételezünk. Ez természetesen közelítés, ami a villamos térnek az elektródok szélein fellépő szórását és a csekély mértékben jelen lévő külső villamos teret figyelmen kívül hagyja. Az elektródok kicsiny d távolságához képest nagy A felületük miatt azonban a feltételezett homogén tér nagyon jól közelíti a valóságot.

1.16.4.2 ábra: A síkkondenzátor villamos tere

A síkkondenzátor kapacitásának levezetése:

A kapacitás meghatározásának általános képlete:

ahol Q : az elektródpáron szétválasztott töltés abszolút értéke,
U : a Q töltéshez tartozó feszültség az elektródok között.

A síkkondenzátor tere a kiindulási feltételezés alapján homogén tér, ezért a két elektród közötti feszültség, mint a villamos térerősség vonalintegrálja felírható a kondenzátor belsejében a tér minden pontjában uralkodó, azonos térerősség és az elektródok távolságának szorzataként.

ahol E : a villamos térerősség az elektródok közötti térben,
l : az integrálási útvonal,
d : a síkelektródok távolsága;

amit a kapacitás képletébe behelyettesítve a

összefüggést kapjuk. A villamos térerősség helyére a síkkondenzátor terében a villamos térerősség meghatározására levezetett összefüggést behelyettesítve:

ahol e : az elektródok közötti szigetelőanyag dielektromos állandója,
A : az elektródok felülete (egy elektródé).

Az egymástól d távolságra elhelyezett A felületű síkelektródokkal és e dielektromos állandójú szigetelőanyaggal rendelkező síkkondenzátor kapacitása:

- arányos az elektródok között levő szigetelőanyag dielektromos álladójával, mert a szigetelőanyag minél nagyobb dipólusnyomatékkal rendelkező dipólusokból áll, annál nagyobb mennyiségű töltést képes megkötni az elektródákon, tehát annál jobban lerontja az elektródok közötti villamos teret, vagyis ellentétes irányú terével csökkenti a villamos térerőséget, így annál több töltés hozza a létre ugyanahhoz a feszültséghez az adott elektródtávolság esetén tartozó villamos térerősséget;
- arányos továbbá az elektródok felületével, mert minél nagyobb azok felülete, annál nagyobb mennyiségű töltést képesek befogadni, amellyel a kapacitás közvetlenül arányos;
- és fordítottan arányos az elektródok közötti távolsággal, mert nagyobb távolság esetén kisebb villamos térerősség tartozik ugyanahhoz a feszültséghez, amit kevesebb töltés hoz létre az elektródokon.

 

A gömbkondenzátor két, egymással koncentrikusan, adott távolságra elhelyezkedő, vezető anyagú elektródból, valamint az őket egymástól elválasztó, szigetelő anyagú rétegből áll.

1.16.4.2 ábra: A gömbkondenzátor keresztmetszeti rajza

A gömbkondenzátor belsejében gömbszimmetrikus villamos tér uralkodik, tehát a villamos térerősségvonalak a belső elektród felülete és a külső elektród felülete között, azokra merőlegesen, sugárirányban haladnak.

A gömbkondenzátor kapacitásának levezetése:

A kapacitás meghatározásának általános képlete:

ahol Q : az elektródpáron szétválasztott villamos töltés abszolút értéke,
U : a Q töltéshez tartozó feszültség az elektródok között.

A fenti képletben a feszültség helyére behelyettesítve a pontszerű, illetve gömbszerű töltést körülvevő villamos térben a térnek két, a középponttól mért különböző távolságú pontja közötti feszültség meghatározására levezetett összefüggést olymódon, hogy a két távolság helyébe a belső és a külső elektródnak a szigetelőanyag felületével határos felületeinek sugarát helyettesítjük be:

ahol e : az elektródok közötti szigetelőanyag dielektromos állandója,
rb : a belső elektród külső felületének sugara,
rk : a külső elektród belső felületének sugara.

Az egymással koncentrikus, rb sugarú belső és rk sugarú külső elektróddal és a közöttük levő, e dielektromos állandójú szigetelőanyaggal rendelkező gömbkondenzátor kapacitása:

arányos az elektródok között lévő szigetelőanyag dielektromos álladójával; arányos továbbá az elektródok sugarával, közvetve így azok felületével; és fordítottan arányos az elektródok sugarainak különbségével, közvetve így az azok közötti távolsággal.

(Ld. még: Síkkondenzátor kapacitása)

 

A térben egymagában álló, vezető anyagú gömb a végtelen távoli pontokkal, mint ellentétes töltésű elektróddal szemben rendelkezik kapacitással.

A kapacitás úgy határozható meg, hogy a gömbkondenzátor kapacitás-összefüggésében a külső elektródnak a középponttól számított távolságának helyébe végtelent helyettesítünk be:

ahol e : a gömböt körülvevő szigetelőanyag dielektromos állandója,
rb : a belső elektród külső felületének sugara a gömbkondenzátor kapacitás-képletében,
rk : a külső elektród belső felületének sugara a gömbkondenzátor kapacitás-képletében,
R : a térben egymagában álló gömb sugara.

Az (e ) dielektromos állandójú anyaggal kitöltött térben egymagában álló, (R) sugarú, vezető anyagú gömb kapacitása:

arányos a teret kitöltő közeg dielektromos álladójával és arányos a gömb sugarával.

(Ld. még: Síkkondenzátor kapacitása)

 

A hengerkondenzátor két, egymással koaxiálisan (egytengelyűen), adott távolságra elhelyezkedő, adott hosszúságú, vezető anyagú elektródból, valamint az őket egymástól elválasztó, szigetelő anyagú rétegből áll.

1.16.4.4 ábra: A hengerkondenzátor hosszmetszeti és keresztmetszeti rajza

A hengerkondenzátor belsejében hengerszimmetrikus villamos tér uralkodik, tehát a villamos térerősségvonalak a belső elektród felülete és a külső elektród felülete között, azokra merőlegesen, sugárirányban haladnak. Ezt a feltételezést téve elhanyagoljuk a villamos térnek a kondenzátor hosszanti irányának két végén bekövetkező torzulását.

A hengerkondenzátor kapacitásának levezetése:

A kapacitás meghatározásának általános képlete, és alkalmazása adott hosszúságú hengerkondenzátorra:

ahol Q : az elektródpáron szétválasztott villamos töltés abszolút értéke,
U : a Q töltéshez tartozó feszültség az elektródok között,
l : a kondenzátor hosszúsága.

A fenti képletben a feszültség helyére behelyettesítve a vonaltöltést, illetve hengertöltést körülvevő villamos térben a térnek két, a tengelytől mért különböző távolságú pontja közötti feszültség meghatározására levezetett összefüggést olymódon, hogy a két távolság helyébe a belső és a külső elektródnak a szigetelőanyag felületével határos felületeinek sugarát helyettesítjük be:

ahol e : az elektródok közötti szigetelőanyag dielektromos állandója,
rb : a belső elektród külső felületének sugara,
rk : a külső elektród belső felületének sugara.

Az egymással koaxiális, végtelen hosszúságú, (rb) sugarú belső és (rk) sugarú külső elektróddal és a közöttük levő, (e ) dielektromos állandójú szigetelőanyaggal rendelkező, egyenes hengerkondenzátor (l) hosszúságú darabjának kapacitása:

arányos az elektródok között lévő szigetelőanyag dielektromos álladójával; arányos a hengerkondenzátor hosszával és fordítottan arányos továbbá az elektródok sugarai arányának logaritmusával, közvetve így az azok közötti távolsággal.

(Ld. még: Síkkondenzátor kapacitása)

 

A kondenzátorokból álló kapcsolások (soros, párhuzamos kapcsolások) számítását azzal a feltételezéssel végezzük, hogy az egyes kondenzátorok villamos tere egymástól független. Bizonyos elektródelrendezések esetén azonban több elektróda villamos töltése együttesen határozza meg a környezetükben a villamos teret. Az 1.16.5.1 ábrán látható bármely két elektródot erővonalak kötnek össze. Az ilyen elrendezések elektródrendszert alkotnak.

Elektródrendszert alkotnak azok az elektródok, melyek töltése együttesen határozza meg a környező villamos teret, töltéseik összege nulla és a rendszer villamos terét a rendszeren kívüli töltések nem befolyásolják.


1.16.5.1 ábra: Három elektródból álló elektródrendszer

A számítások során az egyik elektród potenciálját nullának választjuk. Ez az elektród a legtöbb esetben a föld. A nullapotenciálú elektródon kívül n számú elektród van a rendszerben, amelyek töltése Q1, Q2, ... Qn, potenciálja pedig U1, U2, ... Un. Az elektródok, lévén vezető anyagból, ekvipotenciálisak. Az egyes elektródok potenciálját az összes töltés határozza meg:

. . .

ahol a pik potenciál-együttható reciprok kapacitás jellegű mennyiség. Mátrixos alakban felírva az előző lineáris egyenletrendszert:

Az egyenletrendszer megoldása az egyes elektródok töltése:

. . .

ahol cik kapacitás jellegű mennyiség. Az előbbiekben felírt n darab egyenlet n számú ismeretlen töltést (vagy potenciált) tartalmaz, az n+1-dik elektród, a nullapotenciálú elektród töltésének abszolút értéke azok összegével egyezik meg és azokkal ellentétes nemű, hiszen az elektródrendszer eredő töltése nulla: . Bevezetve a Cik = -cik és a jelöléseket a töltések kifejezése a következő:

. . .

A Cik mennyiségeket nevezzük részkapacitásoknak. A Ci0 az adott sorszámú (i-edik) elektród önkapacitása, vagyis az általa a nulla-potenciálú elektróddal alkotott kondenzátor kapacitása, a Cik pedig az i-edik és k-adik elektród közötti főkapacitás. Abban az esetben, ha a nullapotenciálú elektród a föld, akkor az önkapacitást földkapacitásnak nevezzük.

A gyakorlatban részkapacitásokkal kell számolni például távvezetékek vagy kábelek villamos terének számításakor.

1.16.5.2 ábra: Három elektródból és a földből álló elektródrendszer